Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде-ленной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро-магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы-ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.
Колебания называются свободными , если они совершаются только под воздействием внутренних сил, действующих между элементами системы, после того как система выведена из положения равновесия внешними силами и предоставлена самой себе. Свободные колебания всегда затухающие колебания , ибо в реальных системах неизбежны потери энергии. В идеализированном случае системы без потерь энергии свободные колебания (продолжающиеся как угодно долго) называются собственными .
Простейшим типом свободных незатухающих колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеб-лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому.
Гармонические колеба-ния описываются уравнением, которое называется уравнением гармонических колебаний:
где А - амплитуда колебаний, максимальное значение колеблющейся величины х ; - круговая (циклическая) частота собственных колебаний; - начальная фаза колебания в мо-мент времени t = 0; - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то х может принимать значения от +A до -А .
Время T , за которое система совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний . За время Т фаза колебания получает приращение 2π , т. е.
Откуда . (14.2)
Величина , обратная периоду колебаний
т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (14.2) и (14.3) получим
Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота, при кото-рой за 1с совершается одно полное колебание.
Системы, в которых могут происходить свободные колебания, называются осцилляторами . Какими же свойствами должна обладать система, чтобы в ней могли возникнуть свободные колебания? Механическая система должна иметь положение устойчивого равновесия , при выходе из которого появляется возвращающая сила, направленная к положению равновесия . Этому положению соответствуют, как известно, минимум потенциальной энергии системы. Рассмотрим несколько колебательных систем, удовлетворяющих перечисленным свойствам.
Темы кодификатора ЕГЭ: гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.
Колебания - это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.
Колебания механических систем, или механические колебания - это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.
Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия - это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.
Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание . Дальше этот процесс будет периодически повторяться.
Амплитуда колебаний тела - это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.
Период колебаний - это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.
Частота колебаний - это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.
Гармонические колебания.
Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.
Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них - синус и косинус - являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.
Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.
Гармонические колебания - это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
(1)
Выясним смысл входящих в эту формулу величин.
Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому - амплитуда колебаний.
Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .
Величина называется циклической частотой . Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда
(2)
(3)
Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1) :
График функции (1) , выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1 .
Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.
Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:
График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2 .
 |
| Рис. 2. Закон косинуса |
Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:
График колебаний представлен на рис. 3 .
 |
| Рис. 3. Закон синуса |
Уравнение гармонических колебаний.
Вернёмся к общему гармоническому закону (1) . Дифференцируем это равенство:
. (4)
Теперь дифференцируем полученное равенство (4) :
. (5)
Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
. (6)
Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний . Его можно переписать и в таком виде:
. (7)
C математической точки зрения уравнение (7)
является дифференциальным уравнением
. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:
Решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;
Никакая другая функция решением данного уравнения не является.
Иными словами, соотношения (6) , (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий - по начальным значениям координаты и скорости.
Пружинный маятник.
Пружинный маятник - это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.
Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4 ). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.
Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .
Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.
 |
| Рис. 4. Пружинный маятник |
В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:
. (8)
Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:
Тогда соотношение (8) принимает вид:
Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором
Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
. (9)
Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
. (10)
Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10) .
Математический маятник.
Математический маятник - это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5 ). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.
 |
| Рис. 5. Математический маятник |
Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Запишем для маятника второй закон Ньютона:
и спроектируем его на ось :
Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:
Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:
Итак, при любом положении маятника имеем:
. (11)
Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11) :
Это - уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором
Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
. (12)
Отсюда период колебаний математического маятника:
. (13)
Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.
Свободные и вынужденные колебания.
Говорят, что система совершает свободные колебания
, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.
Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.
Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.
В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6 ).
Вынужденные колебания - это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7 .
 |
| Рис. 7. Резонанс |
Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс - явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .
На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.
АЧХ шума.
Лично мне после прочтения этих статей (например, этой) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих:).
Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.
Пару слов о матчасти
Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии
Гармонические колебания
Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:
F(x) = A sin (ωt + φ),
Где A - длина вектора (амплитуда колебаний), φ - начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω - угловая скорость вращения, которая равна:
ω=2 πf, где f - частота в Герцах.
Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.
Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии . Для примера возьмём пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал
Его сумма будет представлена следующей формулой:
Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:
Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:
Вектора рисуют пилу.
Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.
Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)
Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.
Переходим к практическим упражнениям!
Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами:).
Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.
Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно .
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.
Для формирования звукового файла был взят пример . Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут
Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:
#define S_RATE (44100) //частота дискретизации
#define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */
….
int main(int argc, char * argv)
{
...
float amplitude = 32000; //берём максимальную возможную амплитуду
float freq_Hz = 100; //частота сигнала
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767). В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу: Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра) Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах. Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью. Для начала алокируем массивы: C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей
in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив
out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массив
Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла). While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) {
in[j]=(float)value;
j+=2;
if (j > 2*size_array) break;
}
Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re, im, re, im,… re, im}, где fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком: Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));
Логарифм от количество байт в данных, делённых на количество байт в одной точке. После этого считаем поворотные множители: Fft_make(p2,c);// функция расчёта поворотных множителей для БПФ (первый параметр степень двойки, второй алокированный массив поворотных множителей).
И скармливаем наш считанный массив в преобразователь Фурье: Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(единица означает, что мы получаем нормализованный массив).
На выходе мы получаем комплексные числа вида {re, im, re, im,… re, im}. Для тех, кто не знает, что такое комплексное число, поясню. Я не зря начал эту статью с кучи вращающихся векторов и кучи гифок. Так вот, вектор на комплесной плоскости определяется действительной координатой a1 и мнимой координатой a2. Или длиной (это у нас амплитуда Am) и углом Пси (фаза). Обратите внимание, что size_array=2^p2. Первая точка массива соответствует частоте 0 Гц (постоянная), последняя точка соответствует частоте дискретизации, а именно 44100 Гц. В результате мы должны рассчитать частоту, соответствующей каждой точке, которые будут отличаться на частоту дельта: Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //частота дискретизации на размер массива.
Алокируем массив амплитуд: Double * ampl;
ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));
И смотрим на картинку: амплитуда - это длина вектора. А у нас есть его проекции на действительную и мнимую ось. В результате у нас будет прямоугольный треугольник, и тут мы вспоминаем теорему Пифагора, и считаем длину каждого вектора, и сразу пишем её в текстовый файл: For(i=0;i<(size_array);i+=2) {
fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out)));
cur_freq+=delta;
}
…
11.439514 10.943008
11.607742 56.649738
11.775970 15.652428
11.944199 21.872342
12.112427 30.635371
12.280655 30.329171
12.448883 11.932371
12.617111 20.777617
...
Теперь скармливаем получившейся программе тот звуковой файл синуса ./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav
format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 bytes in data
chunk=441000
log2=18
size array=262144
wav format
Max Freq = 99.928 , amp =7216.136
И получаем текстовый файл АЧХ. Строим его график с помощью гнуплота Скрипт для построения: #! /usr/bin/gnuplot -persist
set terminal postscript eps enhanced color solid
set output "result.ps"
#set terminal png size 800, 600
#set output "result.png"
set grid xtics ytics
set log xy
set xlabel "Freq, Hz"
set ylabel "Amp, dB"
set xrange
#set yrange
plot "test.txt" using 1:2 title "AFC" with lines linestyle 1
Обратите внимание на ограничение в скрипте на количество точек по X: set xrange . Частота дискретизации у нас 44100, а если вспомнить теорему Котельникова, то частота сигнала не может быть выше половины частоты дискретизации, следовательно сигнал выше 22050 Гц нас не интересует. Почему так, советую прочитать в специальной литературе. Обратите внимание на резкий пик на частоте 100 Гц. Не забывайте, что по осям - логарифмический масштаб! Шерсть справа, как я думаю, ошибки преобразования Фурье (тут на память приходят окна). А давайте! Давайте поглядим спектры других сигналов! Double d_random(double min, double max)
{
return min + (max - min) / RAND_MAX * rand();
}
Она будет генерировать случайное число в заданном диапазоне. В результате main будет выглядеть так: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
float amplitude = 32000;
srand((unsigned int)time(0)); //инициализируем генератор случайных чисел
for (i=0; i Сгенерируем файл , (рекомендую к прослушиванию). Поглядим его в audacity. Поглядим спектр в программе audacity. И поглядим спектр с помощью нашей программы: Хочу обратить внимание на очень интересный факт и особенность шума - он содержит в себе спектры всех гармоник. Как видно из графика, спектр вполне себе ровный. Как правило, белый шум используется для частотного анализа пропускной способности, например, аудиоаппаратуры. Существуют и другие виды шумов: розовый, синий и другие
. Домашнее задание - узнать, чем они отличаются. А теперь давайте посмотрим другой интереснейший сигнал - меандр. Я там выше приводил табличку разложений различных сигналов в ряды Фурье, вы поглядите как раскладывается меандр, выпишите на бумажку, и мы продолжим. Для генерации меандра с частотой 25 Гц мы модифицируем в очередной раз наш генератор wav-файла: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
short int meandr_value=32767;
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i В результате получим звуковой файл (опять же, советую послушать), который сразу надо посмотреть в audacity Не будем томиться и поглядим его спектр: Пока не очень что-то понятно, что такое… А давайте поглядим несколько первых гармоник: Совсем другое дело! Ну-ка поглядим табличку. Смотрите-ка, у нас есть только 1, 3, 5 и т.д., т.е. нечётные гармоники. Мы так и видим, что у нас первая гармоника 25 Гц, следующая (третья) 75 Гц, затем 125 Гц и т.д., при этом у нас амплитуда постепенно уменьшается. Теория сошлась с практикой! Эта картинка прям как картинка из википедии , где для примера меандра берутся не все частоты, а только первые несколько. Сумма первых гармоник, и как меняется сигнал
Меандр так же активно используется в радиотехнике (надо сказать, что - это основа всей цифровой техники), и стоит понимать что при длинных цепях его может отфильтровать так, что, родная мама не узнает. Его так же используют для проверки АЧХ различных приборов. Ещё интересный факт, что глушилки телевизоров работали именно по принципу высших гармоник, когда сама микросхема генерировала меандр десятки МГц, а его высшие гармоники могли иметь частоты сотни МГц, как раз на частоте работы телевизора, и высшие гармоники успешно глушили сигнал вещания телевизора. Вообще тема подобных экспериментов бесконечная, и вы можете теперь сами её продолжить. Для тех, кто нифига не понял, что мы тут делаем, или наоборот, для тех, кто понял, но хочет разобраться ещё лучше, а так же для студентам, изучающим ЦОС, крайне рекомендую эту книгу. Это ЦОС для чайников, которым является автор данного поста. Там доступным даже для ребёнка языком рассказываются сложнейшие понятия. В заключении хочу сказать, что математика - царица наук, но без реального применения многие люди теряют к ней интерес. Надеюсь, данный пост подстегнёт вас к изучению такого замечательного предмета, как обработка сигналов, и вообще аналоговой схемотехнике (затыкайте уши, чтобы не вытекали мозги!). :) Мы рассмотрели несколько физически совершенно различных систем, и убедились, что уравнения движения приводятся к одной и той же форме Различия между физическими системами проявляются лишь в различном определении величины
и в различном физическом смысле переменной x
:
это может быть координата, угол, заряд, ток и т. д. Отметим, что при этом, как следует из самой структуры уравнения (1.18), величина всегда имеет размерность обратного времени. Уравнение (1.18) описывает так называемые гармонические колебания
. Уравнение гармонических колебаний (1.18) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка (так как оно содержит вторую производную от переменной x
).
Линейность уравнения означает, что если какая-то функция x(t)
является решением этого уравнения, то функция Cx(t)
также будет его решением (C
– произвольная постоянная); если функции x 1 (t)
и x 2 (t)
являются решениями этого уравнения, то их сумма x 1 (t) + x 2 (t)
также будет решением того же уравнения. Доказана также математическая теорема, согласно которой уравнение второго порядка имеет два независимых решения. Все остальные решения, согласно свойствам линейности, могут быть получены как их линейные комбинации. Непосредственным дифференцированием легко проверить, что независимые функции и удовлетворяют уравнению (1.18). Значит, общее решение этого уравнения имеет вид: где C 1 ,
C 2
- произвольные постоянные. Это решение может быть представлено и в другом виде. Введем величину и определим угол соотношениями: Тогда общее решение (1.19) записывается как Согласно формулам тригонометрии, выражение в скобках равно Окончательно приходим к общему решению уравнения гармонических колебаний
в виде: Неотрицательная величина A
называется амплитудой колебания
,
- начальной фазой колебания
.
Весь аргумент косинуса - комбинация - называется фазой колебания
.
Выражения (1.19) и (1.23) совершенно эквивалентны, так что мы можем пользоваться любым их них, исходя из соображений простоты. Оба решения являются периодическими функциями времени. Действительно, синус и косинус периодичны с периодом .
Поэтому различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени t*
, за который фаза колебания получает приращение, кратное
: Отсюда следует, что Наименьшее из этих времен называется периодом колебаний
(рис. 1.8), а - его круговой (циклической)
частотой
. Рис. 1.8.
Используют также и частоту
колебаний
Соответственно, круговая частота равна числу колебаний за
секунд. Итак, если система в момент времени t
характеризуется значением переменной x(t),
то, то же самое значение, переменная будет иметь через промежуток времени (рис.1.9), то есть
Это же значение, естественно, повторится через время 2T
, ЗT
и т. д. Рис. 1.9. Период колебаний
В общее решение входят две произвольные постоянные (C 1 , C 2
или A
, a
), значения которых должны определяться двумя начальными условиями
.
Обычно (хотя и не обязательно) их роль играют начальные значения переменной x(0)
и ее производной . Приведем пример. Пусть решение (1.19) уравнения гармонических колебаний описывает движение пружинного маятника. Значения произвольных постоянных зависят от способа, каким мы вывели маятник из состояния равновесия. Например, мы оттянули пружину на расстояние
и отпустили шарик без начальной скорости. В этом случае Подставляя t = 0
в (1.19), находим значение постоянной С 2
Решение, таким образом, имеет вид: Скорость груза находим дифференцированием по времени Подставляя сюда t
= 0, находим постоянную С 1
: Окончательно Сравнивая с (1.23), находим, что
- это амплитуда колебаний, а его начальная фаза равна нулю: . Выведем теперь маятник из равновесия другим способом. Ударим по грузу, так что он приобретет начальную скорость , но практически не сместится за время удара. Имеем тогда другие начальные условия: наше решение имеет вид Скорость груза будет изменяться по закону: Подставим сюда : Согласно
определению, момент
инерции тела относительно оси равен
сумме произведений масс частиц на
квадраты их расстояний до оси вращения
или
Однако,
эта формула непригодна для вычисления
момента инерции; так как масса твердого
тела распределена непрерывно, то сумму
следует заменить на интеграл. Поэтому
для вычисления момента инерции тело
разбивают на бесконечно малые объемы
dV с массой dm=dV.
Тогда где
R - расстояние элемента dV от оси вращения. Если
момент инерции I C
относительно оси, проходящей через
центр масс, известен, то можно легко
вычислить момент инерции относительно
любой параллельной оси О, проходящей
на расстоянии d от центра масс или I O =I C +md 2 , Это
соотношение называется теоремой
Штейнера
:
момент инерции тела относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции относительно оси параллельной
ей и проходящей через центр масс и
произведения массы тела на квадрат
расстояния между осями. Кинетическая
энергия вращающегося вокруг закрепленной
оси твердого тела Дифференцируя
формулу по времени, получим закон
изменения кинетической энергии
вращающегося вокруг закрепленной оси
твердого тела: скорость
изменения кинетической энергии
вращательного движения равна мощности
момента силы. dK вращ =M Z Z dt=M Z d
K
K 2 -K 1 = т.е.
изменение
кинетической энергии вращения равно
работе момента сил
. Движение
твердого тела, при котором центр масс
перемещается в фиксированной плоскости,
а ось его вращения, проходящая через
центр масс, остается перпендикулярной
к этой плоскости, называется плоским
движением
.
Это движение можно свести к совокупности
поступательного движения и вращения
вокруг неподвижной
(закрепленной) оси
,
так как в Ц-системе ось вращения,
действительно, остается неподвижной.
Поэтому плоское движение описывается
упрощенной системой двух уравнений
движения: Кинетическая
энергия тела, совершающего плоское
движение, будет: и
окончательно так
как в данном случае i "
- скорость вращения i-ой точки вокруг
неподвижной оси. Колебания
Колебаниями
вообще называются движения, повторяющиеся
во времени. Если
эти повторения следуют через равные
промежутки времени, т.е. x(t+T)=x(t), то
колебания называются периодическими
.
Система, совершающая колебания,
называется осциллятором
.
Колебания, которые совершает система,
предоставленная самой себе, называются
собственными, а частота колебаний в
этом случае -- собственной
частотой
. Гармоническими
колебаниями
называются колебания, происходящие по
закону sin или cos. Например, x(t)=A
cos(t+ 0), где
x(t) -- смещение частицы от положения
равновесия, A -- максимальное смещение
или амплитуда
,
t+ 0
-- фаза
колебаний, 0
--
начальная фаза (при t=0),
Система,
совершающая гармонические колебания,
называется гармоническим осциллятором.
Существенно, что амплитуда и частота
гармонических колебаний постоянны и
не зависят друг от друга. Условия
возникновения гармонических колебаний
:на
частицу (или систему частиц) должна
действовать сила или момент сил,
пропорциональные смещению частицы из
положения равновесия и стремящиеся
вернуть ее в положение равновесия. Такая
сила (или момент сил) называется
квазиупругой
;
она имеет вид
,
где k называется квазижесткостью. В
частности это может быть и просто упругая
сила, приводящая в колебания пружинный
маятник, колеблющийся вдоль оси x.
Уравнение движения такого маятника
имеет вид: где
введено обозначение
. Непосредственной
подстановкой нетрудно убедиться, что
решением уравнения является
функция x=A
cos( 0 t+ 0), где
A и 0
--
постоянные величины
,
для определения которых следует задать
два начальных
условия
:
положение x(0)=x 0
частицы и ее скорость v х (0)=v 0
в начальный (нулевой) момент времени. Это
уравнение представляет собою динамическое
уравнение любых гармонических
колебаний с собственной частотой 0 .
Для грузика на пружинке
период колебаний пружинного маятника Физический
маятник
-- это любое физическое тело, совершающее колебания
вокруг оси, не проходящей через центр
масс, в поле сил тяжести. Для
того, чтобы
собственные колебания системы были
гармоническим, необходимо, чтобы
амплитуда этих колебаний была мала
.
Кстати, то же справедливо и для пружинки:
F упр =-kx
только для малых деформаций пружинки
x. Период
колебаний определяется формулой: Заметим,
что квазиупругим здесь является момент
силы тяжести M я
=
- mgd ,
пропорциональный угловому отклонению
. Частным
случаем физического маятника является
математический
маятник
--
точечная масса, подвешенная на невесомой
нерастяжимой нити длины l. Период малых
колебаний
математического маятника В
реальной ситуации на осциллятор со
стороны окружающей среды всегда действуют
диссипативные силы (вязкого трения,
сопротивления среды) Обозначая
и
,
получаем динамическое уравнение
собственных затухающих гармонических
колебаний: Как
и в случае незатухающих колебаний, это
общая форма уравнения. При
не слишком большом сопротивлении среды
Функция
Время
,
за которое амплитуда колебаний уменьшается
в e=2,71828 раз, называется
временем
релаксации
. Кроме
коэффициента затухания, вводится еще
одна характеристика, называемая
логарифмическим
декрементом затухания
-- это натуральный логарифм
отношения амплитуд (или смещений) через
период: Частота
собственных затухающих колебаний зависит
не только от величины квазиупругой силы
и массы тела, но и от сопротивления
среды. Рассмотрим
два случая такого сложения. a)
Осциллятор участвует в двух
взаимно-перпендикулярных
колебаниях. В
этом случае вдоль осей x и y действуют
две квазиупругие силы. Тогда Для
того, чтобы найти траекторию осциллятора,
следует исключить из этих уравнений
время t. Проще
всего это сделать в случае кратных
частот
: Где n и m -- целые числа. В
этом случае траекторией осциллятора
будет некоторая замкнутая
кривая, называемая фигурой
Лиссажу
. Пример
:
частоты колебаний по x и y одинаковы
( 1 = 2 =),
а разность фаз колебаний
Отсюда
находим:
--
фигурой Лиссажу будет эллипс. б)
Осциллятор совершает колебания одного
направления
. Пусть
таких колебаний пока будет два; тогда где
Аналитически
колебания складывать очень неудобно,
особенно, когда их не
два, а несколько; поэтому обычно
используется геометрический метод
векторных диаграмм
. Вынужденные
колебания
возникают при действии на осциллятор внешней
периодической силы, изменяющейся по
гармоническому закону с
частотой вн:
Динамическое
уравнение вынужденных колебаний: Для
установившегося
режима колебаний
решением
уравнения будет гармоническая функция: где
A -- амплитуда вынужденных колебаний, а
-- отставание по фазе от
вынуждающей силы. Амплитуда
установившихся вынужденных колебаний: Отставание
по фазе установившихся вынужденных
колебаний от внешней вынуждающей
силы: \hs
Итак: установившиеся вынужденные
колебания происходят с
постоянной, не зависящей от времени
амплитудой, т.е. не затухают, несмотря
на сопротивление среды. Это объясняется
тем, что работа внешней
силы идет на увеличение
механической энергии осциллятора и
полностью компенсирует ее
убывание, происходящее из-за действия
диссипативной силы сопротивления Как
видно из формулы, амплитуда вынужденных
колебаний А вн
зависит от частоты внешней вынуждающей
силы вн.
График этой зависимости называется
резонансной
кривой
или амплитудно-частотной характеристикой
осциллятора.
Чистый ламповый синус
График спектра
это массив комплексных чисел. Я даже боюсь представить, где используется комплексное преобразование Фурье, но в нашем случае мнимая часть у нас равна нулю, а действительная равна значению каждой точке масива.
Ещё одна особенность именно быстрого преобразования Фурье, что оно обсчитывает массивы, кратные только степени двойки. В результате мы должны вычислить минимальную степень двойки:
Вектор на комплексной плоскости
В результате получаем файл примерно такого вида:Пробуем!
Итак (барабанная дробь), запускаем скрипт и лицезреем:
Спектр нашего сигнала
А давайте побалуем?
Вокруг шум…
Для начала построим спектр шума. Тема про шумы, случайные сигналы и т.п. достойна отдельного курса. Но мы её коснёмся слегка. Модифицируем нашу программу генерации wav-файла, добавим одну процедуру:
Сигнал в audacity
Спектр
Наш спектр
А компот?
Его величество - меандр или меандр здорового человека
Спектр меандра
Первые гармоники
А теперь внимание! В реальной жизни сигнал меандра у нас имеет бесконечную сумму гармоник всё более и более высокой частоты, но как правило, реальные электрические цепи не могут пропускать частоты выше какой-то частоты (в силу индуктивности и ёмкости дорожек). В результате на экране осциллографа можно часто увидеть вот такой сигнал:
Меандр курильщика
Книга
Заключение
Удачи!
2. Момент инерции и его
вычисление
3. Кинетическая энергия
вращения
–4. Плоское
движение
,1. Гармонический осциллятор
-- циклическая
частота
,
-- просто частота колебаний.
или
,
.2. Физический и математический
маятники
.
3. Затухающие гармонические
колебания
,
которые замедляют движение. Уравнение
движения тогда принимает вид:
.
.
представляет
собою убывающую по экспоненте амплитуду
колебаний. Это уменьшение амплитуды
называется релаксацией
(ослаблением) колебаний, а
называется коэффициентом
затухания
колебаний.
4. Сложение гармонических
колебаний
(для простоты положим 1 =0).
.
и
--
фазы колебаний.5. Вынужденные колебания
.
.6. Резонанс
