Пушкин А.С

История развития теории вероятностей. Основные понятия и краткие сведения из теории вероятностей Применение теория вероятностей в физике

07.12.2023

Либерт Елена

Азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МБОУ СШ №8 г. Ярцево Смоленской области

Проект по математике:

«История возникновения теории вероятностей»

Подготовила: ученица 11 класса

средней школы №8 Либерт Елена

Руководитель: учитель математики

Борисенкова Ольга Владимировна

Г. Ярцево, 2015г.

История возникновения теории вероятностей…………………………………………………………..…...3

Средневековая Европа и начало Нового времени……………………….4

XVII век: Паскаль, Ферма, Гюйгенс…..………………………………….5

XVIII век……..…………………………………………………………….7

XIX век. Общие тенденции и критика……………………….…………..7

Применение теории вероятности в XIX-XX веках……………….…..…8

  1. Астрономия………………………………………………………….8
  2. Физика………………………….……………………………………9
  3. Биометрия……………...……………………………………………9
  4. Сельское хозяйство………………………..………………………..9
  5. Промышленность …………………………………………………..10
  6. Медицина…………………………………………………………....10
  7. Биоинформатика……………...…………………………………….10
  8. Экономика и банковское дело…….……………………………….11

История возникновения теории вероятностей

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:

Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629-1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654-1705), Муавр (1667-1754), Лаплас (1749- 1827), Гаусс (1777-1855) и Пуассон (1781-1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

Средневековая Европа и начало Нового времени

Первые задачи вероятностного характера возникли в различных азартных играх - костях, картах и др. Французский каноник XIII века Ришар де Фурниваль правильно подсчитал все возможные суммы очков после броска трёх костей и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число способов можно рассматривать как первую числовую меру ожидаемости события, аналогичную вероятности. До Фурниваля, а иногда и после него, эту меру часто подсчитывали неверно, считая, например, что суммы 3 и 4 очка равновероятны, так как оба могут получиться «только одним способом»: по результатам броска «три единицы» и «двойка с двумя единицами» соответственно. При этом не учитывалось, что три единицы в самом деле получаются только одним способом: ~1+1+1, а двойка с двумя единицами - тремя: ~1+1+2;\;1+2+1;\;2+1+1, так что эти события не равновероятны. Аналогичные ошибки неоднократно встречались и в дальнейшей истории науки.

В обширной математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» итальянца Луки Пачоли (1494) содержатся оригинальные задачи на тему: как разделить ставку между двумя игроками, если серия игр прервана досрочно. Пример подобной задачи: игра идёт до 60 очков, победитель получает всю ставку в 22 дуката, в ходе игры первый игрок набрал 50 очков, второй - 30, и тут игру пришлось прекратить; требуется справедливо разделить исходную ставку. Решение зависит от того, что понимать под «справедливым» разделом; сам Пачоли предложил делить пропорционально набранным очкам (55/4 и 33/4 дуката); позднее его решение было признано ошибочным.

Распределение суммы очков после бросания двух костей

Крупный алгебраист XVI века ДжероламоКардано посвятил анализу игры содержательную монографию «Книга об игре в кости» (1526 год, опубликована посмертно). Кардано провёл полный и безошибочный комбинаторный анализ для значений суммы очков и указал для разных событий ожидаемое значение доли «благоприятных» событий: например, при бросании трёх костей доля случаев, когда значения всех 3 костей совпадают, равна 6/216 или 1/36. Кардано сделал проницательное замечание: реальное количество исследуемых событий может при небольшом числе игр сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем доля этого различия меньше. По существу, Кардано близко подошёл к понятию вероятности:

Итак, имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений.

Другой итальянский алгебраист, Никколо Тарталья, раскритиковал подход Пачоли к решению задачи о разделе ставки: ведь если один из игроков ещё не успел набрать ни одного очка, то алгоритм Пачоли отдаёт всю ставку его сопернику, но это трудно назвать справедливым, поскольку некоторые шансы на выигрыш у отстающего всё же имеются. Кардано и Тарталья предложили свои (различные) способы раздела, но впоследствии и эти способы были признаны неудачными.

Исследованием данной темы занимался и Галилео Галилей, написавший трактат «О выходе очков при игре в кости» (1718 год, опубликован посмертно). Изложение теории игры у Галилея отличается исчерпывающей полнотой и ясностью. В своей главной книге «Диалог о двух главнейших системах мира, птоломеевой и коперниковой» Галилей также указал на возможность оценки погрешности астрономических и иных измерений, причём заявил, что малые ошибки измерения вероятнее, чем большие, отклонения в обе стороны равновероятны, а средний результат должен быть близок к истинному значению измеряемой величины. Эти качественные рассуждения стали первым в истории предсказанием нормального распределения ошибок.

XVII век: Паскаль, Ферма, Гюйгенс

В XVII веке начало формироваться отчётливое представление о проблематике теории вероятностей и появились первые математические (комбинаторные) методы решения вероятностных задач. Основателями математической теории вероятностей стали Блез Паскаль и Пьер Ферма.

Перед этим математик-любитель шевалье де Мере обратился к Паскалю по поводу так называемой «задачи об очках»: сколько раз нужно бросать две кости, чтобы ставить на одновременное выпадение хотя бы раз двух шестёрок было выгодно? Паскаль и Ферма вступили в переписку друг с другом по поводу данной задачи и родственных вопросов (1654). В рамках этой переписки учёные обсудили ряд проблем, связанных с вероятностными расчётами; в частности, рассматривалась старая задача о разделе ставки, и оба учёных пришли к решению, что надо разделить ставку соответственно остающимся шансам на выигрыш. Паскаль указал де Мере на ошибку, допущенную им при решении «задачи об очках»: в то время как де Мере неверно определил равновероятные события, получив ответ: 24 броска, Паскаль дал правильный ответ: 25 бросков.

Паскаль в своих трудах далеко продвинул применение комбинаторных методов, которые систематизировал в своей книге «Трактат об арифметическом треугольнике» (1665). Опираясь на вероятностный подход, Паскаль даже доказывал (в посмертно опубликованных заметках), что быть верующим выгоднее, чем атеистом.

Гюйгенс, вначале использовал термин «стоимость», а термин «ожидание» появился впервые при переводе трактата Гюйгенса Ван Схоутеном на латинский язык и стал общепринятым в науке.

В книге большое число задач, некоторые с решениями, другие «для самостоятельного решения». Из последних особый интерес и оживлённое обсуждение вызвала «задача о разорении игрока». В несколько обобщённом виде она формулируется так: у игроков A и B есть a и b монет соответственно, в каждой игре выигрывается одна монета, вероятность выигрыша A в каждой игре равна p, требуется найти вероятность полного его разорения. Полное общее решение «задачи о разорении» дал Абрахам де Муавр полвека спустя (1711). В наши дни вероятностная схема «задачи о разорении» используется при решении многих задач типа «случайное блуждание».

Гюйгенс проанализировал и задачу о разделе ставки, дав её окончательное решение: ставку надо разделить пропорционально вероятностям выигрыша при продолжении игры. Он также впервые применил вероятностные методы к демографической статистике и показал, как рассчитать среднюю продолжительность жизни.

К этому же периоду относятся публикации английских статистиков Джона Граунта (1662) и Уильяма Петти (1676, 1683). Обработав данные более чем за столетие, они показали, что многие демографические характеристики лондонского населения, несмотря на случайные колебания, имеют достаточно устойчивый характер - например, соотношение числа новорождённых мальчиков и девочек редко отклоняется от пропорции 14 к 13, невелики колебания и процента смертности от конкретных случайных причин. Эти данные подготовили научную общественность к восприятию новых идей.

Граунт также впервые составил таблицы смертности - таблицы вероятности смерти как функции возраста. Вопросами теории вероятностей и её применения к демографической статистике занялись также Иоганн Худде и Ян де Витт в Нидерландах, которые в 1671 году также составили таблицы смертности и использовали их для вычисления размеров пожизненной ренты. Более подробно данный круг вопросов был изложен в 1693 году Эдмундом Галлеем.

XVIII век

На книгу Гюйгенса опирались появившиеся в начале XVIII века трактаты Пьера де Монмора «Опыт исследования азартных игр» (опубликован в 1708 и переиздан с дополнениями в 1713 году) и Якоба Бернулли «Искусство предположений» (опубликован уже после смерти учёного, в том же 1713 году). Последний имел для теории вероятностей особенно большое значение.

XIX век

Общие тенденции и критика

В XIX веке число работ по теории вероятностей продолжало расти, были даже компрометирующие науку попытки распространить её методы далеко за разумные пределы - например, на область морали, психологии, правоприменения и даже богословия. В частности, валлийский философ Ричард Прайс, а следом за ним и Лаплас, считали возможным рассчитать по формулам Байеса вероятность предстоящего восхода Солнца, Пуассон пытался провести вероятностный анализ справедливости судебных приговоров и достоверности показаний свидетелей. Философ Дж. С. Милль в 1843 году, указав на подобные спекулятивные применения, назвал исчисление вероятностей «позором математики». Эта и другие оценки свидетельствовали о недостаточной строгости обоснования теории вероятностей.

Математический аппарат теории вероятностей тем временем продолжал совершенствоваться. Основной сферой её применения в тот период была математическая обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, а также расчёты рисков в страховом деле и других статистических параметров. Среди главных прикладных задач теории вероятностей и математической статистики XIX века можно назвать следующие:

найти вероятность того, что сумма независимых случайных величин с одинаковым (известным) законом распределения находится в заданных пределах. Особую важность эта проблема представляла для теории ошибок измерения, в первую очередь для оценки погрешности наблюдений;

установление статистической значимости различия случайных значений или серий таких значений. Пример: сравнение результатов применения нового и старого видов лекарств для принятия решения о том, действительно ли новое лекарство лучше;

исследование влияния заданного фактора на случайную величину (факторный анализ).

Уже к середине XIX века формируется вероятностная теория артиллерийской стрельбы. В большинстве крупных стран Европы были созданы национальные статистические организации. В конце века область применения вероятностных методов начала успешно распространяться на физику, биологию, экономику, социологию.

Применение теории вероятности в XIX-XX веках.

В 19 и 20 столетиях теория вероятностей проникает сначала в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации. Проследим применение в различных областях.

1.Астрономия.

Именно для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Главной задачей, для решения которой он был первоначально использован, стал расчет орбит комет, который приходилось производить по малому числу наблюдений. Ясно, что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Метод оказался эффективным, универсальным, и вызвал бурные споры о приоритете. Его стали использовать в геодезии и картографии. Сейчас, когда искусство ручных расчетов утрачено, трудно представить, что при составлении карт мирового океана в 1880-х годах в Англии методом наименьших квадратов была численно решена система, состоящая из примерно 6000 уравнений с несколькими сотнями неизвестных.

2.Физика.

Во второй половине 19 века была в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса была развита статистическая механика, которая описывала состояние разряженных систем, содержащих огромное число частиц (порядка числа Авогадро). Если раньше понятие распределения случайной величины было преимущественно связано с распределением ошибок измерения, то теперь распределенными оказались самые разные величины – скорости, энергии, длины свободного пробега.

3.Биометрия.

В 1870-1900 годах бельгиец Кетле и англичане Френсис Гальтон и Карл Пирсон основали новое научное направление – биометрию, в которой впервые стала систематически и количественно изучаться неопределенная изменчивость живых организмов и наследование количественных признаков. В научный оборот были введены новые понятия – регрессии и корреляции.

Итак, вплоть до начала 20 века основные приложения теории вероятности были связаны с научными исследованиями. Внедрение в практику – сельское хозяйство, промышленность, медицину произошло в 20 веке.

4.Сельское хозяйство.

В начале 20 века в Англии была поставлена задача количественного сравнения эффективности различных методов ведения сельского хозяйства. Для решения этой задачи была развита теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ. Основная заслуга в развитии этого уже чисто практического использования статистики принадлежит сэру Рональду Фишеру, астроному по образованию, а в дальнейшем фермеру, статистику, генетику, президенту английского Королевского общества. Современная математическая статистика, пригодная для широкого применения в практике, была развита в Англии (Карл Пирсон, Стьюдент, Фишер). Стьюдент впервые решил задачу оценки неизвестного параметра распределения без использования байесовского подхода.

5.Промышленность.

Введение методов статистического контроля на производстве (контрольные карты Шухарта). Сокращение необходимого количества испытаний качества продукции. Математические методы оказываются уже настолько важными, что их стали засекречивать. Так книга с описанием новой методики, позволявшей сократить количество испытаний (“Последовательный анализ” Вальда), была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.

6.Медицина.

Широкое применение статистических методов в медицине началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения (антибиотики, инсулин, эффективная анестезия, искусственное кровообращение) потребовало достоверных методов оценки их эффективности. Возникло новое понятие “Доказательная медицина”. Начал развиваться более формальный, количественный подход к терапии многих заболевании – введение протоколов, guidelines.

С середины 1980-х годов возник новый и важнейший фактор, революционизировавший все приложения теории вероятностей – возможность широкого использования быстрых и доступных компьютеров. Почувствовать всю громадность произошедшего переворота можно, если учесть, что один современный персональный компьютер превосходит по быстродействию и памяти все компьютеры СССР и США, имевшиеся к 1968 году, времени, когда уже были осуществлены проекты, связанные со строительством атомных электростанций, полетами на Луну, созданием термоядерной бомбы. Сейчас методом прямого экспериментирования можно получать результаты, которые ранее были недоступны – thinkingofunthinkable.

7.Биоинформатика.

Начиная с 1980-х годов количество известных последовательностей белков и нуклеиновых кислот стремительно возрастает. Объем накопленной информации таков, что только компьютерный анализ этих данных может решать задачи по извлечению информации.

8.Экономика и банковское дело.

Широкое применение имеет теория риска. Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны. Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.

1. Вероятность и статистика нужны всем

Примеры применения теории вероятностей и математической статистики.

Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных задач. Так, например, в романе А.Н.Толстого «Хождение по мукам» (т.1) говорится: «мастерская дает двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, - сказал Струков Ивану Ильичу».

Как понимать эти слова в разговоре заводских менеджеров? Одна единица продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверно, Струков имел в виду, что в партии большого объема содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос, а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 – 300, или из 100000 – 30000 и т.д., надо ли обвинять Струкова во лжи?

Или другой пример. Монетка, которую используют как жребий, должна быть «симметричной». При ее бросании в среднем в половине случаев должен выпадать герб (орел), а в половине случаев – решетка (решка, цифра). Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает гербом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100000 бросаний окажется 40000 гербов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Пример может показаться недостаточно серьезным. Однако это не так. Жеребьевка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и т.п.). Допустим, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах, т.е. в маслах состава А и В . При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло состава А , а какие – в масло состава В , но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью жребия.

Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из нее отбирается выборка. По результатам контроля выборки делается заключение о всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е. необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры.

Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал тогда и только тогда, когда до финала у нее не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадет. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя ее в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьевку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4/7. Соответственно с вероятностью 3/7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.

Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть л систематическая погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты, положительную погрешность – с выпадением герба, отрицательную – решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Итак, задача проверки отсутствия систематической погрешности сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведенные рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р 0 , например, р 0 = 0,23 (вспомните слова Струкова из романа А.Н.Толстого).

Предыдущая

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

  • Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
  • Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
  • Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

  • А = «студенты пришли на лекцию».
  • Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

  • А = «студентка пришла на лекцию».
  • В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

  • А = «фирма получит первый контракт».
  • А 1 = «фирма не получит первый контракт».
  • В = «фирма получит второй контракт».
  • В 1 = «фирма не получит второй контракт»
  • С = «фирма получит третий контракт».
  • С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

  • К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

  • М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

  • классическое;
  • статистическое;
  • геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

  • Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

    Возникновение и развитие теории вероятностей и ее приложений. Решение классических парадоксов игры в кости и "азартных игр". Парадокс закона больших чисел Бернулли и Бертрана, дня рождения и раздачи подарков. Изучение парадоксов из книги Г. Секея.

    контрольная работа , добавлен 29.05.2016

    Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.

    презентация , добавлен 17.08.2015

    Сущность понятия "комбинаторика". Историческая справка из истории развития науки. Правило суммы и произведения, размещения и перестановки. Общий вид формулы для вычисления числа сочетаний с повторениями. Пример решения задач по теории вероятностей.

    контрольная работа , добавлен 30.01.2014

    Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.

    шпаргалка , добавлен 24.12.2010

    Возникновение теории вероятностей как науки, вклад зарубежных ученых и Петербургской математической школы в ее развитие. Понятие статистической вероятности события, вычисление наивероятнейшего числа появлений события. Сущность локальной теоремы Лапласа.

    презентация , добавлен 19.07.2015

    Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

    контрольная работа , добавлен 03.12.2010

    Преимущество использования формулы Бернулли, ее место в теории вероятностей и применение в независимых испытаниях. Исторический очерк жизни и деятельности швейцарского математика Якоба Бернулли, его достижения в области дифференциального исчисления.

    презентация , добавлен 11.12.2012

    Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья в области решения первичных задач теории вероятностей. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей. Работа Х. Гюйгенса. Первые исследования по демографии. Формирование понятия геометрической вероятности.

    курсовая работа , добавлен 24.11.2010


Содержание
Введение 3
1. История возникновения 4
2. Возникновение классического определения вероятности 9
3. Предмет теории вероятности 11
4. Основные понятия теории вероятности 13
5. Применение теории вероятностей в современном мире 15
6. Вероятность и воздушный транспорт 19 Заключение 20
Список литературы 21


Введение

Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие случайным событиям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания. Отсюда не трудно догадаться, что и в авиации теория вероятностей находит очень широкое применение.
Моя будущая диссертационная работа будет связана со спутниковой навигацией. Не только в спутниковой навигации, но и в традиционных средствах навигации, теория вероятностей получило очень широкое применение, потому что через вероятность количественно выражаются большинство эксплуатационно-технических характеристик радиотехнических средств.


1. История возникновения

Сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Ясно одно, что мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительного времени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей. В течение долгого периода исследователи ограничивались рассмотрением разного рода игр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет ограничиваться простыми и прозрачными математическими моделями. Однако следует заметить, что многие отлично понимали то, что позднее было сформулировано Христианом Гюйгенсом: «...я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории».
Мы увидим, что при дальнейшем прогрессе теории вероятностей глубокие соображения как естественнонаучного, так и общефилософского характера играли большую роль. Эта тенденция продолжается и в наши дни: мы постоянно наблюдаем, как вопросы практики - научной, производственной, оборонной - выдвигают перед теорией вероятностей новые проблемы и приводят к необходимости расширения арсенала идей, понятий и методов исследования.
Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности, можно разбить на следующие этапы.
1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др.
С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы есть глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), рассуждения о равновозможных исходах и т.п. Еще в древности делались попытки сбора и анализ некоторых статистических материалов – все это(а так же и другие проявления внимания к случайным явлениям)создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия.
В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном всегда был одним из основных. Философская разработка этих проблем также оказала влияние на формирование понятия вероятности. В целом в средневековье наблюдается только разрозненные попытки размыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.
В работах Пачоли, Тарталья и Кардано уже делается попытка выделить новое понятие – отношение шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.
2. Возникновение теории вероятности как науки. К середине XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдения и в других областях, привлекли внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь этот период связан с именами Паскаля, Ферма и Гюйгенса. В этот период вырабатываются специфические понятия, такие как математическое ожидание и вероятность (как отношение шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теорема вероятностей находит применение в страховом деле, демографии, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.
3. Следующий период начинается с появления работы Бернулли «Искусство предположений» (1713 г.), в которой в первые была доказана первая предельная теорема – простейший случай закона больших чисел. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает классическое определение вероятности.
4. Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего с Петербургской математической школой. За два столетия развития теории вероятностей главными её достижениями были предельные теоремы, но не были выяснены границы их применения и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с успехами были выявлены и существенные недостатки в её обосновании, это выражено в недостаточно четком представлении о вероятности. В теории вероятности создалось положение, когда дальнейшее её развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования.
Это было осуществлено русской математической школой во главе с Чебышевым. Среди её крупнейших представителей Маркова и Ляпунова.
В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а так же происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова). В теории вероятности возникают новые понятия, как «теория характеристических функций», «теория моментов» и др. И в связи с этим она получило широкое распространение в естественных науках, в первую очередь это относиться к физике. В этот период создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей. Вероятности, применяемые в физике, были не совсем теми же, как в математике. Существующие понятия вероятности не удовлетворяли потребностей естественных наук и в результате этого начали возникать различные трактовки вероятности, которые были трудно сводимы к одному определению.
Развитие теории вероятностей в начале XIX в. Привело к необходимости пересмотра и уточнения её логических основ, в первую очередь понятия вероятности. Это требовало развития физики и применения в ней вероятностных понятий и аппарата теории вероятностей; ощущалось неудовлетворенность классического обоснования лапласовского типа.
5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики (аксиоматика - система аксиом какой-либо науки). Этого в первую очередь требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а так же в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему её основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с теорией множеств. Это обусловило широту исследований по теории вероятностей.
Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX в. Анализ тенденций развития теории вероятностей позволил Колмогорову создать общепринятую аксиоматику. В вероятностных исследованиях аналогии с теорией множеств начали играть существенную роль. Идеи метрической теории функций все глубже стали проникать в теорию вероятностей. Возникла потребность в аксиоматизации теории вероятностей исходя из теоретико-множественных представлений. Такая аксиоматика и была создана Колмогоровым и способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая наука.
В этот период понятие вероятности проникает почти во все во все сферы человеческой деятельности. Возникают самые различные определения вероятности. Многообразие определений основных понятий - существенная черта современной науки. Современные определения в науке - это изложение концепций, точек зрения, которых может быть много для любого фундаментального понятия, и все они отражают какую-нибудь существенную сторону определяемого понятия. Это относится и к понятию вероятности.


2. Возникновение классического определения вероятности

Понятие вероятности играет громадную роль в современной науке, а тем самым является существенным элементом современного мировоззрения в целом, современной философии. Все это порождает внимание и интерес к развитию понятия вероятности, которое тесно связано с общим движением науки. На понятия вероятности оказали существенное влияние достижения многих наук, но и это понятие в свою очередь заставляло их уточнять подход к исследованию миру.
Образование основных математических понятий представляет важные этапы в процессе математического развития. До конца XVII века наука так и не подошла к введению классического определения вероятности, а продолжала оперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному интересующему исследователей событию. Отдельные попытки, которые были отмечены у Кардано и у позднейших исследователей, не привели к ясному пониманию значения этого нововведения и остались инородным телом в завершенных работах. Однако, в тридцатых годах XVIII столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребительным и никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числа благоприятствующих событию шансов. Введение классического определения вероятности произошло не в результате однократного действия, а заняло длительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывное совершенствование формулировки, переход от частных задач к общему случаю.
Внимательное изучение, показывает, что еще в книге X. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (1657) нет понятия вероятности как числа, заключенного между 0 и 1 и равного отношению числа благоприятствующих событию шансов к числу всех возможных. А в трактате Я. Бернулли «Искусство предположений» (1713) понятие это введено, хотя и в далеко несовершенной форме, но, что особенно важно, широко используется.
А. Муавр воспринял классическое определение вероятности, данное Бернулли, и вероятность события определил почти в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: «Следовательно, мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель - число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность его появления».


3. Предмет теории вероятностей
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, - она просто не в силах это сделать.
По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.
Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.


4. Основные понятия теории вероятностей

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В их качестве выступают: событие, вероятность события, частота события или статистическая вероятность и случайная величина.
Случайными событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий.
Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n.
Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 ? P*(A) ? 1.
Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах.
Именно это обстоятельство позволяет при изучении случайных событий применять математические методы, приписывая каждому массовому случайному событию его вероятность, за которую принимается то (вообще говоря заранее неизвестное) число, около которого колеблется наблюдаемая частота события.
Вероятность случайного события А обозначается через Р(А). Вероятность случайного события, как и его частота, заключена между нулем и единицей: 0 ? P(A) ? 1.
Случайная величина – это величина, характеризующая собой результат предпринятой операции и которая может принимать различные значения при различных операциях, какими бы однородными были условия их осуществления.

5. Применение теории вероятностей в современном мире
Начать по праву следует со статистической физики. Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и законы могут получить точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Статистическая физика стала основой всей современной физики, а теория вероятностей – ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. Статистическая физика весьма успешно применяется в самых разных разделах физики. В молекулярной физике с ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – диэлектрические, проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света. В последние годы круг приложений статистической физики продолжает расширяться.
Статистические представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений ядерной физики. Появление радиофизики и изучение вопросов передачи радио сигналов не только усилили значение статистических концепций, но и привели к прогрессу самой математической науки – появлению теории информации.
Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без статистических представлений. Вся физическая химия, ее математический аппарат и предлагаемые ею модели являются статистическими.
Обработка результатов наблюдений, которые всегда сопровождаются и случайными ошибками наблюдений, и случайными для наблюдателя изменениями в условиях проведения эксперимента, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается на статистические представления.
Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в использовании статистических представлений.
Биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теоретико-вероятностные законы. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют вероятностно- статистических рассуждений. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики.
Гуманитарные науки объединяют очень разнообразные по характеру дисциплины – от языкознания и литературы до психологии и экономики. Статистические методы все в более значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, особенно в археологии. Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Идеи, руководившие Ж. Шампольоном при расшифровке др евнего иероглифического письма , являются в основе своей статистическими. Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману «Тихий Дон» было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке.
Многие проблемы педагогики и психологии также требуют привлечения вероятностно-статистического аппарата. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность.
Непосредственно связаны с вероятностно- статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить качество каждого изделия. Поэтому приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или гибели.
Вопросы, связанные с сельским хозяйством, уже давно решаются с широким использованием статистических методов. Выведение новых пород животных, новых сортов растений, сравнение урожайности – вот далеко не полный список задач, решаемых статистическими методами.
Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь. В известном сочинении поэта-материалиста Лукреция Кара «О природе вещей» имеется яркое и поэтическое описание явления броуновского движения пылинок:
«Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает
В наши жилища и мрак прорезает своими лучами,
Множества маленьких тел в пустоте, ты увидишь, мелькая,
Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света;
Будто бы в вечной борьбе они бьются в сраженьях и битвах.
В схватки бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя.
Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь.
Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно
Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся.
Так о великих вещах помогают составить понятье
Малые вещи, пути намечая для из достиженья,
Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье
На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете,
Что из нее познаешь ты материи также движенье»
Первая возможность экспериментального исследования соотношений между беспорядочным движением отдельных частиц и закономерным движением их больших совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник Р. Броун открыл явление, которое по его имени названо «броуновским движением». Броун наблюдал под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивлению он обнаружил, что взвешенные в воде частицы находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удается прекратить при самом тщательном старании устранить какие либо внешние воздействия. Вскоре было обнаружено, что это общее свойство любых достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Броуновское движение – классический пример случайного процесса.


6. Вероятность и воздушный транспорт
В предыдущей главе мы рассмотрели применение теории вероятности и статистики в различных областях науки. В этой главе я бы хотела привести примеры применения теории вероятностей на воздушном транспорте.
Воздушный транспорт - понятие, включающее как собственно воздушные суда, так и необходимую для их эксплуатации инфраструктуру: аэропорты, диспетчерские и технические службы. Как известно, совершение полета –это результат совместной работы множества служб аэропорта, которые в своей деятельности используют различные области науки и практически во всех этих областях имеет место теория вероятности. Я бы хотела привести пример из области навигации, где теория вероятности также широко применяется.
В связи с развитием спутниковых систем навигации, посадки и связи были введены новые показатели надежности как целостность, непрерывность, и готовность системы. Все эти показатели надежности количественно выражаются через вероятность.
Целостность-степень доверия к информации, получаемой от радиотехнической системы и применяемое в дальнейшем воздушным судном. Вероятность целостности равна произведению вероятности отказа на вероятность необнаружения отказа и должна быть равна или меньше 10 -7 на час полета.
Непрерывность обслуживания – это способность полной системы выполнять свою функцию без прерывания режима работы при выполнении планируемой операции. Она должна быть не меньше 10 -4 .
Готовность-это способность системы выполнять свои функции к началу выполнения операции. Онам должна быть не меньше 0, 99.
Заключение
Вероятностные идеи стимулируют в наши дни развитие всего комплекса знаний, начиная от наук о не живой природе и кончая науками об обществе. Прогресс современного естествознания неотделим от использования и развития вероятностных идей и методов. В наше время трудно назвать какую-либо область исследований, где бы не применялись вероятностные методы.


Список литературы
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006 г.;
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. М: Высшая школа, 1998 г.;
3. Гнеденко Б.В. Очерк по теории вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 2009 г.;
4. Майстров Л.Е. Развитие теории вероятностей. М.:Наука, 1980 г.;
5. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967 г.
6. Соболев Е.В. Организация радиотехнического обеспечения полётов (часть 1). Санкт-Петербург, 2008 г.;
7. http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/ p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966