Всем привет. Довольно недавно я столкнулся с проблемой на своем новом телефоне, для решения которой мне нужно было достать из прошивки некоторые APK файлы. Поискав в интернете способы решения этой проблемы, я наткнулся на на одну интересную утилиту, которая мне помогла решить эту проблему.
Для работы нам понадобятся:
ext4_unpacker_exe.zip
ext2explore-2.2.71.zip
Разбираем прошивку Android Распаковываем *.zip архив с прошивкой в любую папку.Запускаем утилиту ext4_unpacker.exe
и выбираем файл system.img.
После открытия файла, нажимаем на кнопку сохранить как.
Пишем имя файла с расширением .ext4 (например system.ext4 ).
После завершения распаковки запустите утилиту ext2explore.exe от имени администратора (важно! ).В вкладке File выб…
Программа разделена на два потока в одном из которых выполняется сортировка, а в другом перерисовка графического интерфейса. После нажатия на кнопку «Сортировать», в программе вызывается метод «RunSorting», в котором определяется алгоритм сортировки и создается новый поток с запущенным в нем процессом сортировки.
private void RunSo…
Сегодня я хочу показать свой Качер, который я делал на прошлых зимних каникулах. Описывать весь процесс изготовления не буду, так как в интернете есть много статей. Напишу только об основных его параметрах.
Ниже несколько фото сделанных во время сборки устройства.
Катушка намотана проводом 0,08 мм примерно 2000 витков на ПВХ трубе диаметром 50 мм и высотой 200 мм.
В качестве терминала была использована пластина из старого жесткого диска. Все остальное собиралось по схеме которая находится в самом низу страницы.
Первый вариант питался от блока питания старого компьютера, напряжением 12 В. Затем же был сделан отдельный блок питания, напряжением в 30 В и со встроенным охлаждением.
Схема устройства:
Совместное использование ресурсов (CORS) — это спецификация W3C, которая позволяет осуществлять междоменную связь в браузере. Создавая поверх объекта XMLHttpRequest, CORS позволяет разработчикам работать с одинаковыми идиомами как запросы с одним доменом. Вариант использования для CORS прост. Представьте, что на сайте alice.com есть некоторые данные, которые сайт bob.com хочет получить. Этот тип запроса традиционно не допускается в соответствии с той же политикой происхождения браузера. Однако, поддерживая запросы CORS, alice.com может добавить несколько специальных заголовков ответов, которые позволяют bob.com получать доступ к данным. Как видно из этого примера, поддержка CORS требует координации между сервером и клиентом. К счастью, если вы являетесь разработчиком на стороне клиента, вы защищены от большинства этих деталей. В остальной части этой статьи показано, как клиенты могут выполнять запросы с кросс-началом и как серверы могут настраивать себя для поддержки CORS. Продолжени…
Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией - интерполяционным полиномом n -степени. Данный интерполяционный полином n-степени может быть записан, например, в форме Ньютона (один из способов представления).
Интерполяционный многочлен
в форме Ньютона
– это математическая функция позволяющая записать полином
n
-степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным/переменным временным шагом измерений.
1. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента
В общем виде интерполяционный многочлен в форме Ньютона записывается в следующем виде:
где n – вещественное число, которое указывает степень полинома;
– переменная, которая представляет собой разделенную разность
k-го порядка, которая вычисляется по следующей формуле:
Разделённая разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется. Следует отметить, что для разделённой разности k-го порядка справедлива следующая формула:
В качестве примера, рассмотрим построение полинома в форме Ньютона по представленной выборке данных, которая состоит из трех заданных точек . Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, который проходит через три заданных точки, будет записываться в следующем виде:
Разделенная разность 1-го порядка определяется следующим выражением
Разделенная разность 2-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
Форма Ньютона является удобной формой представления интерполяционного полинома n-степени, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое. Следует отметить, что интерполяционный полином в форме Ньютона только по форме отличается от интерполяционного полинома в форме Лагранжа, представляя собой на заданной сетке один и тот же интерполяционный полином.
Следует отметить, что полином в форме Ньютона может быть представлен в более компактном виде (по схеме Горнера), которая получается путем последовательного вынесения за скобки множителей
2. Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих значений аргумента
В случае если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента, которые имеют постоянный шаг измерений
, то используют другую форму записи интерполяционного многочлена по формуле Ньютона.
Для интерполирования функции в конце рассматриваемого интервала (интерполирование назад и экстраполирование вперед
где конечные разности k
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В этой формуле из таблицы конечных разностей используются верхней диагонали.
Для интерполирования функции в начале рассматриваемого интервала (интерполирование вперед и экстраполирование назад ) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
где конечные разности k -порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В формуле из таблицы конечных разностей используются нижней диагонали.
3. Погрешность интерполяционного полинома в форме Ньютона
Рассмотрим функцию f (x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке . Интерполяционный полином P (x) в форме Ньютона принимает в точках заданные значения функции . В остальных точках интерполяционный полином P (x) отличается от значения функции f (x ) на величину остаточного члена , который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона:
Абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Переменная представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале
В случае равноотстоящих узлов абсолютная погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Выражение записано с учетом следующей формулы:
Выбор узлов интерполяции
С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:
В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:
4. Методика вычисления полинома в форме Ньютона (прямой способ)
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:
1. В качестве исходных данных задается выборка из n -точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.
2. Выполняется вычисление разделенных разностей n-порядка, которые будет использоваться для построения полинома в форме Ньютона.
3. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Ньютона по следующей формуле:
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона представлен на рисунке 1.
При получении интерполяционных формул Ньютона, которые используются для тех же целей, что и формула Лагранжа, сделаем дополнительное предположение, что рассматриваются равноотстоящие значения аргумента. Итак, пусть значения функции у = f (x ) заданы для равноотстоящих значений x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Этим значениям аргументов будут соответствоватьзначенияфункции: у 0 = f(x 0),у 1 = f(x 1), …, y n = f(x n).
Запишем искомый многочлен в виде
F(x ) = a 0 + a 1 (x - x 0) + a 2 (x - x 0)(x - x 1) + a 3 (x - x 0)(x - x 1)(x - x 2) + …
…+ a n (x - x 0)(x - x 1)…(x - x n -1) (3.9)
Для определения коэффициентов a 0 , a 1 ,..., а n положим в (3.9) х = х 0 . Тогда у 0 = F (x 0)=а 0 . Далее, полагая x=x 1 , получим у 1 = F (x 1) = a 0 + а 1 h , откуда
a 1 =
Продолжая вычисления коэффициентов, положим х = х 2 . Тогда
y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh , y 2 – 2Δy 0 = a 2 2h 2 ;
y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .
Исходя из (3.8), получаем y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.
Точно так же получим
Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для любого коэффициента а k:
Подставим найденные выражения коэффициентов в формулу (3.9), получим
Полученная формула и называется первой интерполяционной формулой Ньютона.
Для практического использования формулу Ньютона (3.10) обычно записывают в преобразованном виде. Для этого введем обозначение
отсюда х = х 0 + ht .
Выразим через t множители, входящие в формулу (3.10):
………………………..
Подставив полученные выражения в формулу (3.10), окончательно получаем
Выражение (3.11) представляет окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.
Пример . Приняв шаг h = 0,05,построить на отрезке интерполяционный полином Ньютона для функции y = e x ,заданной табл. 3.3.
Таблица 3.3
Заметим, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, мы не отделяем запятой десятичные разряды, которые ясны из столбца значений функций.
Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3.11) полагаем n = 3. Приняв х 0 = 3,50 и у 0 = 33,115, будем иметь:
Первая интерполяционная формула Ньютона неудобна для интерполирования функции в конце таблицы, где число значений разностей мало. В этом случае применяется вторая интерполяционная формула Ньютона, которую мы сейчас и рассмотрим.
Напишем искомый интерполяционный многочлен в виде
Как и ранее, коэффициенты а 0 , а 1 ,… а n определяются из условия F (x i) = y i . Положим в (3.12) х = х n . Тогда a 0 = y n .
Точно так же, полагая x = x n -1 , получим y n -1 = y n +a 1 (x n -1 - x n) ,
а так как x n -1 – x n = - h , то
Числитель последнего выражения можно представить так:
y n – y n -1 – (y n -1 - y n -2 )= Δy n -1 - Δy n -2 = Δ 2 y n -2 .
Продолжая аналогичные вычисления, получим общую формулу для коэффициентов
После подстановки в (3.12) всех значений коэффициентов эта формула примет вид
Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Для удобства применения ее, как и первую, преобразуют, введя обозначения
= t или x = x n + th .
Выразим теперь через t множители в формуле (3.13):
……………………………………………..
Произведя такую замену, окончательно получим:
Пример . По табл. 3.5 значений семизначных логарифмов для чисел от 1000 с шагом 10 найти lg 1044.
Таблица 3.5
| x | y | Δy | Δ 2 y | Δ 3 y |
| 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 | -426 -418 -409 -401 |
Примем x n = 1050,y n = 3,0211893;Δ y n-1 = 0,0041560;
Δ 2 y n -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n -3 = 0,0000008.Тогда для x = 1044 получаем
Как первая, так и вторая интерполяционные формул Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функций, т. е. для нахождения значений функций для значений аргументов х , лежащих вне пределов таблицы. Еслизначение x < x 0 и значение x близко к x 0 , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем
Еслиже x > x 0 и x близко кх п , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, – используется для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Пример . Имея табл. 3.6 значений и разностей,у= sin х : в пределах отх = 15° дох = 55° с шагом h = 5° , найти sin 14° и sin 56° .
Таблица 3.6
| x (0 C) | y | Δy | Δ 2 y | Δ 3 y |
| 0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192 | 832 532 | -26 -32 -38 -44 -49 -54 -57 | -6 -6 -6 -5 -5 -3 |
Решение . Для вычисления sin14 0 примем x 0 = 15 0 и x = 14 0 , отсюда t = (14–15)/5 = – 0,2.
Здесь следует выполнить экстраполирование назад, поэтому применим первую интерполяционную формулу Ньютона и подчеркнутые одной чертой конечные разности:
sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +
+ (–0,0006) = 0,242.
Для отыскания sin56 0 примем x n = 55 0 и x = 56 0 , отсюда t = .
Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона (3.14) и, используя дважды подчеркнутые разности, будем иметь:
sin56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532+ (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Московский государственный университет приборостроения и информатики Сергиево-Посадский филиал
Реферат на тему:
Интерполяционные формулы Ньютона
Выполнила: Бревчик Таисия Юрьевна
Студентка 2 курса группы ЭФ-2
1.Введение
2. Первая интерполяционная формула Ньютона
3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Заключение
Список литературы
Введение
Интерполямция, интерполимрование -- в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию.
Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов».
К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса -- Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.
Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области. Пусть значения функции известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность -- интерполяционной сеткой.
Пары называют точками данных или базовыми точками.
Разность между «соседними» значениями -- шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
Функцию -- интерполирующей функцией или интерполянтом.
1. Первая интерполяционная формула Ньютона
1. Описание задачи. Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной: , где - шаг интерполяции . Требуется подобрать полином степени не выше, принимающий в точках значения
Условия (1) эквивалентны тому, что при.
Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:
Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше, во-вторых,
Заметим, что при формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции:
Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую переменную по формуле; тогда получим:
где представляет собой число шагов , необходимых для достижения точки, исходя из точки. Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона .
Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения , где мало по абсолютной величине.
Если дана неограниченная таблица значений функции, то число в интерполяционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число выбирают так, чтобы разность была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение можно принимать любое табличное значение аргумента.
Если таблица значений функции конечна, то число ограничено, а именно: не может быть больше числа значений функции, уменьшенного на единицу.
Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.
2. Пример . Приняв шаг, построить интерполяционный полином Ньютона для функции, заданной таблицей
Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например, .Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например, .
2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется .
Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции
для равноотстоящих значений аргумента, где - шаг интерполяции. Построим полином следующего вида:
или, используя обобщённую степень, получаем:
Тогда, при выполнении равенства, получим
Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:
Введём более удобную запись формулы (2). Пусть, тогда
Подставив эти значения в формулу (2), получим:
Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона . Для приближённого вычисления значений функции полагают:
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции для значений аргументов, лежащих вне пределов таблицы.
Если и близко к, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда. Если же и близко к, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причём.
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад , а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперёд .
Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова.
Пример. Приняв шаг, построить интерполяционный полином Ньютона для функции, заданной таблицей
Заключение
интерполяция ньютон экстраполирование формула
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Список литературы
1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.
2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.
3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.
4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.
5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Применение первой и второй интерполяционной формул Ньютона. Нахождение значений функции в точках, не являющимися табличными. Bспользование формулы Ньютона для не равностоящих точек. Нахождение значения функции с помощью интерполяционной схемы Эйткена.
лабораторная работа , добавлен 14.10.2013
Иоганн Карл Фридрих Гаусс - величайший математик всех времен. Интерполяционные формулы Гаусса, дающие приближенное выражение функции y=f(x) при помощи интерполяции. Области применение формул Гаусса. Основные недостатки интерполяционных формул Ньютона.
контрольная работа , добавлен 06.12.2014
Интерполирование функции в точке, лежащей в окрестности середины интервала. Интерполяционные формулы Гаусса. Формула Стирлинга как среднее арифметическое интерполяционных формул Гаусса. Кубические сплайн-функции как математическая модель тонкого стержня.
презентация , добавлен 18.04.2013
Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа , добавлен 14.03.2014
Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
курс лекций , добавлен 11.02.2012
Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа , добавлен 02.06.2011
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.
контрольная работа , добавлен 05.01.2011
Вычисление производной по ее определению, с помощью конечных разностей и на основе первой интерполяционной формулы Ньютона. Интерполяционные многочлены Лагранжа и их применение в численном дифференцировании. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка).
реферат , добавлен 06.03.2011
Кінцеві різниці різних порядків. Залежність між кінцевими різницями і функціями. Дискретний і неперервний аналіз. Поняття про розділені різниці. Інтерполяційна формула Ньютона. Порівняння формул Лагранжа і Ньютона. Інтерполяція для рівновіддалених вузлів.
контрольная работа , добавлен 06.02.2014
Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.
Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:
P n (x)=a 0 + a 1 (x-x n) + a 2 (x-x n)(x-x n-1) + …+ a n (x-x n)(x-x n-1)…(x-x 1), (6.3.3-8)
где а i , i = 0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.
Для определения коэффициентов а i будем в (6.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = x n P n (x n) = y n , следовательно, a 0 = y n .
При х = x n -1 имеем P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), откуда
Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (6.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:
Введя обозначение: 
и, подставив х в (6.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:
Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей 6.3.3-1, в точке х = 1.7.
Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем: х 3 =1.8, х 2 =1.6 и х 1 =1.4:
Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:
· для первой формулы Ньютона:
(6.3.3-11)
· для второй формулы Ньютона:
(6.3.3-12)
где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.
На практике, если интерполируемая функция y = f(x) задана таблично , полагая, что D n +1 = const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:
(6.3.3-13)
Пример 6.3.3-1. Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.
Практическая погрешность оценивается соотношением:
e 1 = |Р 2 (х) - Р 1 (х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.
Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть х n = 1.3; х n -1 = 1.2; х n -2 = 1.1.
Таблица конечных разностей имеет вид:
| x | y | Dy | D 2 y |
| 1.1 1.2 1.3 | 0.095310 0.182322 0.262364 | 0.087012 0.080042 | -0.006970 |
Тогда: 
6.3.4. Сплайн – интерполяция
В последние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики – теория сплайнов . Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющими достаточно сложную структуру.
Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, являются простейшими сплайнами первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции).
Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.
В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = S(x) таким образом, чтобыf(x i) = S(x i) в точках x = x i , a в остальных точках отрезка значения функций f(x) и S(x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т. е. график функции будет содержать точки “излома”.
Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования показали, что гибкая тонкая линейка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой.
Таким образом, сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.
Пусть интерполируемая функция f(x)задана своими значениями y i , в узлах х i,
(i = 0, 1,...,n). Обозначим длину частичного отрезка как h i =x i -x i-1 ,
(i = 1, 2,...,n).
Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [х i-1 ;х i ] в виде:
где - четверка неизвестных коэффициентов. Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.
Потребуем совпадения значений S(x)в узлах с табличными значениями функции f(x):
(6.3.4-2)
Число этих уравнений (2n) в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для того чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности первой и второй производных сплайна во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные S"(x–0), S"(x+0), S"(x–0), S"(x+0) во внутреннем узле x i .
Вычислим выражения для производных S"(x), S"(x)последовательным дифференцированием (6.3.4-1):
S"(x) = b i + 2c i (x–x i-1) + 3d i (x–x i - l) 2 , (6.3.4-4)
S""(x) = 2c i + 6d i (x–x i - l),(6.3.4-5)
найдем правые и левые производные в узле:
S"(x i –0) = b i + 2сh i + 2d i h i ,
S"(x i +0) = b i+1 , где i = 1,2,..., n -1.
Аналогично поступаем для второй производной:
S"(x–0) = 2c i +6d i h i ,
S"(х+0) = 2с i+1 .
Приравняв левые и правые производные, получаем:
b i +1 = b i +2c i h i +2d i h i 2 (6.3.4-6)
с i+1 = с i - + 3d i h i , где i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)
Уравнения (6.3.4-6), (6.3.4-7) дают еще 2(n–1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка интерполяции (т. е. равенство нулю второй производной), то получим:
с i =0, c n +3d n h n = 0. (6.3.4-8)
Исключив из уравнений (6.3.4-2) – (6.3.4-3) nнеизвестных a i , получаем систему уравнений:
(6.3.4-9)
где i=0, 1,...., n - 1.
Система (6.3.4-9) состоит из 3(n-1)уравнений. Решив систему (6.3.4-9), получаем значения неизвестных b i , c i , d i ,определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна:
где i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)
Программа, реализующая метод сплайн-интерполяции, достаточно громоздка, поэтому ограничимся обсуждением решения задачи об интерполяции синуса с помощью сплайнов, используя функции пакетов п.п. 6.3.6.
