Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .
Общий вид матрицы:
Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:
- Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
- Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Основные виды матриц:
- Квадратная - такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
- Нулевая - где все элементы матрицы = 0.
- Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
- Единичная - все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
- Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.
Методы решения матриц.
Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.
Нахождение определителей 2-го порядка.
Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:
Методы нахождения определителей 3го порядка.
Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.
Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:
Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:
При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":
Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.
Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.
При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.
Теорема Лапласа при решении матриц.
Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ - это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n - 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.
Решение обратной матрицы.
Последовательность действий для решения обратной матрицы :
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Вычисляем алгебраические дополнения.
- Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
- Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Решение систем матриц.
Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.
Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.
Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.
Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.
В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.
Навигация по странице.
Обратная матрица - определение.
Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.
Определение.
Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n .
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Как же находить обратную матрицу для данной?
Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Определение.
Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n ).
Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .
Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.
Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов . Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца . Проиллюстрируем построение этих миноров: и .
Определение.
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .
Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким обрзом, .
Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть .
Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы :
На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .
Матрица действительно является обратной для матрицы А
, так как выполняются равенства . Покажем это
Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .
Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.
Пример.
Дана матрица . Найдите обратную матрицу.
Решение.
Вычислим определитель матрицы А
, разложив его по элементам третьего столбца:
Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
Поэтому
Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:
Теперь находим обратную матрицу как :
Проверяем полученный результат:
Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.
Свойства обратной матрицы.
Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы :
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.
Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.
Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е , то получится обратная матрица .
Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n , определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.
Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.
Если , то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1 ), в которой , а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А , у которой .
Теперь умножаем каждый элемент первой строки на . Так приходим к «новой» матрице А , у которой . Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А , начиная со второго, станут нулевыми.
С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.
Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с , стали нулевыми.
Если , то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2 ), в которой , а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А , у которой . Умножаем все элементы второй строки на . После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А , начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице.
Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.
Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому .
Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
Пример.
Приведите матрицу к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.
Решение.
Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу .
Умножим все элементы первой строки матрицы на : .
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0
, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4)
:
Переходим ко второму столбцу.
Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Переходим к третьему столбцу.
Умножим элементы третьей строки на : .
Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2)
, а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на :
В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.
К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
.
Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.
Пришло время применить метод Гаусса – Жордана к нахождению обратной матрицы.
Пример.
Найдите обратную матрицу для методом Гаусса – Жордана.
Решение.
В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса – Жордана с матрицей А , а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей.
Так как , а , то переставим первую и вторую строки местами:
Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент стал равен единице:
К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0
, к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2
, к элементам четвертой строки – элементы первой строки, умноженные на 5
:
Так в первом столбце матрицы А
мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на , не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части:
Дальше нам нужно сделать элементы и нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0
, а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Так второй столбец матрицы А преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки:
Умножаем элементы третьей строки на :
Третий столбец матрицы А принял нужный вид (элемент нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на ). Осталось умножить четвертую строку на чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице:
Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А
. Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на , к элементам второй строки – элементы последней строки, умноженные на , к элементам первой строки – элементы последней строки, умноженные на 0
:
Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и 0
соответственно:
Осталось последнее преобразование. К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на :
Итак, матрица А преобразованиями Гаусса – Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу.
Ответ:
.
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n .
Этот метод основан на решении n
систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n
дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:
Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу .
Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей - . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид . Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение транспонированной матрицы A T .
- Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
- Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
- Определение алгебраических дополнений.
- Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
Пример №1
. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:
A -1 = 1 / 10 |
|
A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
- Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
- Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.
Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей)
называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей
называется квадратная матрица вида
Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).
Определим основные операции над матрицами .
Сложение матриц
Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле . Обозначается C = A+B.Пример 6
. .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.
Вычитание матриц
Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.Умножение матриц
Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .Определение . Пусть даны две матрицы и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле .
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:
а правило вычисления элемента в произведении:
Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .
Пример 7
. Даны матрицы и . Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение.
Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.
Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).
Пример 8
. Дана матрица . Найти 3A 2 – 2A.
Решение.
.
; .
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
Матрица - это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.
Разные способы записи матриц: показать\скрыть
Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Т.е., указанные ниже записи означают одну и ту же матрицу:
$$ \left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert $$
Произведение $m\times n$ называют размером матрицы . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов - слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ - это номер строки, а число $j$ - номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left(\begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$:
Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца - элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".
Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Можно записать и несколько более развёрнуто:
$$ A_{m\times n}=(a_{ij}) $$
где запись $(a_{ij})$ означает обозначение элементов матрицы $A$. В полностью развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:
$$ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) $$
Введём еще один термин - равные матрицы .
Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными , если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть
Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.
Пример №1
Определить размер матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.
Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.
Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.
Ответ : $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка . Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец . Например, $\left(\begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ - матрица-строка, а $\left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ - матрица-столбец.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ - прямоугольная матрица. Например, матрица $\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ - квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left(\begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ - квадратная матрица второго порядка; $\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ - квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:
$$ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$
Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали ; их называют побочными диагональными элементами . Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем:
Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ - побочные диагональные элементы.
Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$
Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left(\begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$.
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left(\begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - нулевые матрицы.
Пусть матрица $A_{m\times n}$ имеет такой вид:
Тогда данную матрицу называют трапециевидной . Она может и не содержать нулевых строк, но уж если они есть, то располагаются в низу матрицы. В более общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:
Повторюсь, наличие нулевых строк в конце не является обязательным. Т.е. формально можно выделить такие условия для трапециевидной матрицы:
- Все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
- Все элементы от $a_{11}$ до $a_{rr}$, лежащие на главной диагонали, не равны нулю: $a_{11}\neq 0, \; a_{22}\neq 0, \ldots, a_{rr}\neq 0$.
- Либо все элементы последних $m-r$ строк равны нулю, либо $m=r$ (т.е. нулевых строк нету вообще).
Примеры трапециевидных матриц:
Перейдём к следующему определению. Матрицу $A_{m\times n}$ называют ступенчатой , если она удовлетворяет таким условиям:
Например, ступенчатыми матрицами будут:
Для сравнения, матрица $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ не является ступенчатой, поскольку у третьей строки нулевая часть такая же, как и у второй строки. Т.е., нарушается принцип "чем ниже строка - тем больше нулевая часть". Добавлю, что трапециевидная матрица есть частный случай ступенчатой матрицы.
Перейдём к следующему определению. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это несущественно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже верхняя треугольная матрица.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это неважно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже нижние треугольные матрицы.
Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), - это несущественно.
Диагональная матрица называется единичной , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.
Тургенев И.С
Елена Шубина: У меня такое впечатление, что сейчас большая нехватка традиционного семейного романа, который совершенно
Гончаров И.А
Российские учёные намерены клонировать шерстистого мамонта, используя ДНК, полученную из останков времён ледникового периода Над чем сейчас работают ученые
Гончаров И.А